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初学者学算法-矩阵快速幂

www.MyException.Cn  网友分享于:2015-02-11  浏览:0次
菜鸟学算法-矩阵快速幂

一. 什么是快速幂:

快速幂顾名思义,就是快速算某个数的多少次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。一般一个矩阵的n次方,我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。但做下简单的改进就能减少连乘的次数,方法如下:把n个矩阵进行两两分组,比如:A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)。这样变的好处是,你只需要计算一次A*A,然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6,即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次,少于原来的5次。但是当n非常大的时候,其实效率也没有比直接乘号多少。

二. 二分思想求矩阵的快速幂:

首先大家要明白任何一个数都可以用二进制数来表示,比如十进制数字7可以表示为111(2),因此假设我们要求a^b,就可以把b分解成多项式,即:

b = P(n)*An+ P(n-1)*An-1+…+ P(i)*Ai+ P(i-1)*Ai-1+…+ P(0)*A0

ab= a P(n)*An + P(n-1)*An-1+…+ P(i)*Ai + P(i-1)*Ai-1 +…+ P(0)*A0= a P(n)*An * a P(n-1)*An-1 * a P(i)*Ai* …* a P(0)*A0

上面的p(i)等于0或者1,所以如果p(i)=0的话,P(i)*Ai=a0=1. 当p(i)=1时,P(i)*Ai=Ai,

所以A^11就等于A^(10112)=(A^8)*(A^2)*(A^1)。这里就体现了快速的效果了:原本要进行10次乘法运算现在最多只要算4次了。(4次对应的是1011总共有4个位)。可以想象一下A的1024次幂,可以由1023次乘法运算降低到11次运算了(1024=100000000002,总共11位)。

三. 算法演示:

为了更清晰的说明快速幂算法,这里以A的11次幂为例子,配了一张图来说明,这样大家都能看得懂了哈~

 

将11写成1011,然后按位从右到左扫描,设置一个tmp来表示当前扫描位对应的十进制幂的大小,比如第0位对应的十进制指数是1,第3位对应的十进制指数是8,因此我们每向左前进一个扫描位,tmp就double一次,这样tmp就能表示二进制位对应的十进制幂了(tmp初始值为1)。然后我们每遇到二进制位对应数字是1时,就把结果ans和tmp相乘,并且把结果复制到ans中(ans初始值为1)。好了,现在开始运行算法:

刚开始,指针指向第0位,tmp=A,并且该位对应数字是1,所以ans=ans*tmp=A。

指针扫描到第1位,tmp也已经double一次了(tmp=A2)。该位对应数字是1,所以ans=ans*tmp=A3

指针扫描到第2位,tmp也已经double一次(tmp=A4),该位对应数字是0,所以什么都不做,继续扫描。

指针扫描到第3位,tmp也已经double一次(tmp=A8),该位都应数字是1,所以ans=ans*tmp=A11。此时,算法结束。

四. 完整代码:

 1 #include <iostream>   
 2 using namespace std;   
 3   
 4 //计算a^bmodn   
 5 int modexp(int a,int b,int n)   
 6 {   
 7     int ret=1;   
 8     int tmp=a;   
 9     while(b)   
10     {   
11        //基数存在   
12        if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;   
13        tmp=tmp*tmp%n;   
14        b>>=1;   
15     }   
16     return ret;   
17 }   
18   
19 int main()   
20 {   
21     cout<<modexp(2,10,3)<<endl;   
22     return 0;   
23 }  

 

1楼worldball
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