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近年来出现的概率类有关问题的一个总结(一)——傻子上飞机

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-02-29  浏览:15次
近年来出现的概率类问题的一个总结(一)——傻子上飞机
周末无聊,随便写点东西,基本都是原创,如果想参加公司面试不妨看看,这里所选的问题都是一些近年版内比较热点却无统一定论的题,当然,这个“无统一定论”并不是问题本身无定论,而是在表述和理解上出现了偏差,在此我力求以最简洁的语言来表述。

一、傻子上飞机

原题:100个人上飞机,其中第一个人是个傻子,他上飞机后随便做了个位置,后面的人上飞机时,如果位置没被占,就坐自己的位置,否则也随便上个位置。求最后一人上飞机的时候坐在自己位置上的概率。

评论:曾经喧嚣一时,最后大多数人都认可了1/2这个答案,但给出的过程却比较繁琐,大多使用“递归”的思想,不易消化,在此我给出三种方法,供大家拍砖。


1、强归纳法+全概公式

  用P(Bn)表示在有n个人上飞机的情况下最后一人坐在自己位置上的概率,用Ai表示事件傻子上来后坐到了第i个人的位置上
  (1)p(Bn-i+1)=p(Bn|Ai)。2<i<n;
  这个结论有着很通俗的解释,就是傻子如果坐到了第i个人位置上,那么第i个人就成了新的傻子,问题退化成在n-i+1时求解,OK,分析到这就OVER了,该公式登场了:
   
  (2)P(Bn)=sigma(p(Ai)*p(Bn|Ai))

  大名鼎鼎的全概公式,下面是归纳法
  
  (3)n=2时成立,结论显然
  假设n=2到k时结论均成立(强归纳)
  证明n=k+1时成立:

  p(Ai)恒为1/n;
   
  i=1时,p(Bn|A1)=1,i=k+1时,p(Bn|An)=0,其余各项p(Bn|Ai)由强归纳给出1/2

  n个数,第一个数是1,第n个数是0,其余数都是1/2,算术平均是多少不用我算了吧。


2、设A是所有上飞机的不同序列的集合,B={Xn}为最后一人坐在自己位置上的序列集合,C={Yn}为最后一人不坐在自己位置上的序列集合

证明:存在1-1映射f:B->C,满足p(f(x))=p(x)

  B交C=空,B并C=A;

  任取一元素Xi属于B,Xi中一定存在上飞机时“需要选择座位”的人,由Xi的有限性和最小自然数原理,在Xi中,存在“最后一个需要选择座位”的人,不妨设此人编号为k。

  考察C中的一个序列Yi,满足:

  (1),Yi和Xi的前k-1个人上飞机次序相同
  (2),Yi中第k个人直接坐到最后一人的位置上

  易见p(Xi)=p(Yi),且f可逆,命题得证


3、这就比较复杂了,用到的东西比较多,先给个结论:

若有N个人上飞机,则第k个人坐在自己座位上的概率p(k)为:

p(k)=1/N,k=1;
p(k)=(N-k+1)/(N-k+2),k=2..N;

易见k=N时,p=1/2及为原命题

顶的高的话,我来解释这个结论是怎么来的,希望大家支持!

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顶起来
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要顶起来 关注此系列
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帮顶
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牛人 ,我顶你

等你解释
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帮忙顶!

这个问题比较有意思@
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这个问题比较有意思
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好东西

谢谢LZ
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我白痴一下啊:
最后一个人上飞机了,就剩下一个位子,那么这个位子要么是他的要么是不他的。就这俩种情况,我感觉应该没有n/m 是,m-n/m 不是 这种情况吧
我很不专业啊?呵呵
 


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支持一下
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看出来,LZ的数学思维果然不是一般的盖的
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标志 

好东西
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支持一下
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支持
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支持!关注此结论的解释。呵呵。谢谢分享!:)
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1/2
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有没有概率论的普及型读物啊?愿拜读一下!不知有谁知道?
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文章评论

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