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[盖棺定论]纯数学证明傻子有关问题,精确为1/2,欢迎讨论,转载请注明ID~

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-02-26  浏览:5次
[盖棺定论]纯数学证明傻子问题,精确为1/2,欢迎讨论,转载请注明ID~~~
前些日子,偶然在版内看到此题目,深感这是道好题目,好到什么程度?略加思索竟不知道该运用什么知识解此题。早上去学校,翻阅组合数学书籍,终于得到灵感,不敢私藏,特与大家分享~~

PS:此题凭心而论,超出了大多数朋友的数学能力范围,我还没有找到更好的方法证明此题目

先把题目抄下:(为方便起见,我以N=4举例说明,此例N=100

100个人排队乘坐有100个座位的飞机,正常情况时每个都都会对号入坐,但是,第一个上飞机的是个傻子,他随机坐了一个位子,接下来的人上飞机时,如果自己座位被人坐了就会随机找个座位坐下,否则就坐自己坐位。问题:最后一个上飞机的人坐到自己座位的概率是多少??

解:

假设p是满足题目要求的一个n全排列,如1234表示第一个人做1号位置,以此类推,傻子编号为1,全部满足题目要求的排列集合为{p};

*1、当第k个人上飞机的时候,他不可能做到编号为2到k-1的座位上。
证明:假设他能坐到第i个坐位上(2 <=i <=k-1),则表示,第i个人上飞机的时候,第i个座位是空着的,那么他就该坐到第i个座位上,则第k个人不可能坐到i号上。

推论1:第N个人上飞机的时候,他只能坐在1号或者N

2、用P1,P2等表示第n个人,若Pi占了Pj的座位,则做有向边Pi-> Pj.形成有向图G
      2-1;G中任意顶点的度:入度和出度为1或度为0
    *2-2:G中最多存在一个连通分部(G '),包含2个或2个以上的顶点,且P1属于G '
      2-3:由以上两点,可知若G '存在,则构成一单向连通的循环链,若不存在,则补充   定义G '只包含P1.

3、定义p中的一个错排序列s,满足:
      (1)第一个元素在序列头,1在序列中结尾
      (2)除1外,序列中其他元素单调递增加
      (3)p中不存在比s更长的满足定义的序列

        举例:p=1234,s=1;
                    p=2134,s=21
                    p=3214,s=31
                    p=2314,s=231
                    p=2341,s=2341

        易见,s的实际意义就是一个排列中,没有坐在自己座位上的的人的一个“循环占坐链”,在排列2314中,s=231,表示第1个人占一2号座位,第2个人占了第三个座位,而第三个人占了1号座位。也就是2中定义的单向循环链G '

4、p和s存在一一对应关系。
      p-> 唯一s,已经在2中证明了,s-> p,也很显然,因为N中不在s中的数字,必然要在自己原来的位置上,这个排列当然是唯一的。


5、从s到p,方法在4中已经说明了
        举例N=4:
        s={3,1},{N}-s={2,4},先将2插入到第二个位置,再将4插入到第四个位置
        s={2,3,4,1},{N}-s=空集,所以s本身就是p

*6、推论:假设第k个人占了1号座位,在他之前被占的最大座位号是q,则从第q+1个人开始,依座位号就座。(很强的结论)

7、s和p的个数
        由s的产生,可s为2到N的一个全组合并上{1},由二项定理,可知对于N,满足的排列总数为2^(N-1)

*8、   定义s的一个共轭为s '={x|x=1或x不属于N}
        s={1}.s '={2,3,4,1}
        s={2,1|,s '={3,4,1}
        s={3,1},s '={2,4,1}

      对{s}做一划分,划分的依据是是否包含4(N),由于s不存在自共轭,立刻可知这两部分所含元素相等,同为2^(N-2)

9、证明:当最后一人上飞机后,他坐在自己的位置上当且仅当排列p的生成s不包含{N}
充分性:若s不包含N,则s中的最大数q <N-1.根据推论6,当N> =k> =q+1,最后一人必然坐在自己的座位上。

必要性:根据s的定义。

10、由结论8和结论9,可知,此题答案为1/2,证毕。

总结:证明关键:占座链,共轭划分。带*的是一些比较关键的步骤。
     


------解决方案--------------------
我有个更简单的证法:
设第n个人(不算傻子)座位被占用的概率为f(n),而她的座位被占的情况下,她只有可能去占剩下的N-n+1个位置(因为前面n-1个已经被占了),所以她占用别人的座位的概率是1/(N-n+1)。显然f(2)=1/N.
于是可以推断第n个人座位被占的概率为她的座位被各个人占用的概率之和
即:f(n)=f(1)*1/N+f(2)*1/(N-1)+……+f(n-1)*1/(N-n+2)
于是有f(n)-f(n-1)=f(n-1)*1/(N-n+2) 可以得到(N+2-n)*f(n)=(N+2-(n-1))*f(n-1)
不妨设g(n)=(N+2-n)*f(n),于是有g(n)=g(n-1)=……=g(2)=(N+2-2)*f(2)=1
f(n)=1/(N+2-n) 所以f(N)=1/2
------解决方案--------------------
fortress的证明非常好!
另外我用归纳法给点意见:
N为排队坐飞机的人数
已知N=2时,概率rate为1/2;
假设:在N为2 ~ t-1时rate=1/2;则N=t时,rate=1/2;(t-1> =2)
证:t个人坐飞机,傻子以1/t的概率座到第m(2 <=m <=t)的座位,相当于第m个人变成傻子,问题成了一个t-m+1个人的原问题,此问题的rate=1/2(由假设),
所以N=t时,rate=1/t+(1/t)(0.5*(t-2))=0.5;
所以假设成立;
得出任何人排队坐飞机都是相同的结果1/2

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