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[挑战]再看傻子坐飞机有关问题,看看你能达到的高度

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-02-27  浏览:18次
[挑战]再看傻子坐飞机问题,看看你能达到的高度!
近来一道傻子坐飞机问题,引起版内众多朋友的关注,本帖的目的是构造性解决此问题,有兴趣的朋友可以耐心的看下。当然,如果你连最后一个上飞机坐在自己位置上的概率恒为1/2都没还搞清楚,就不用浪费时间看此帖了~~。

        先把题目抄下:

        100个人排队乘坐有100个座位的飞机,正常情况时每个都都会对号入坐,但是,第一个上飞机的是个傻子,他随机坐了一个位子,接下来的人上飞机时,如果自己座位被人坐了就会随机找个座位坐下,否则就坐自己坐位。
       
        用大写N表示常量:总共上飞机的人数,下同。

        设p(k;N)表示第k个人上飞机后坐在自己座位上的概率,则:
                       
                        1/N         (k=1)
        p(k;N)=
                        (N-k+1)/(N-k+2)         (2 <=k <=N)

        易见,原题要证明的结论就是,当k=N时候,概率表达式退化为1/2。

        因为我的证明是构造性的,步骤比较多,我得先把我的证明过程做一个简单的概括,让大家先明白我的思路:

        1、用图论的思想对题目做一数学抽象。
        2、定义占座链{k1,k2,---,1},其中k1 <k2 <---,其数学含义为第1个人(傻子)占了第k1个人的座位,第k1个人占了k2的座位,等等。
        3、每一个上飞机可能的序列与占座链一一对应。
        4、存在2^(N-1)种不同的上飞机序列的可能性(这些可能性并不等概率出现)
        5、第k人坐在自己的座位上,当且仅当占座链中不含k。
        6、在所有2^(N-1)种上飞机序列中,k出现在其中的概率刚好为一半。
        7、求p(k;N),就是计算k不出现的2^(N-2)项的概率和,公共分母为N!
      *8、当k> =2时,证明:
                              (N-1)/N                                                         (k=2)
              p(k;N)=
                              p(k-1;N)*((N-k+2)^2-1)/(N-k+2)^2       (k> 2)

        由8的递归条件和初始条件,可以直接推出我要证明的结论。
        因为概率表达式子的和式的项成几何增长,我在举例说明的时候以N=4。

        证明

        1、假设p是满足题目要求的一个N全排列,如1234表示第一个人做1号位置,以此类推,傻子编号为1,全部满足题目要求的排列集合为{p};

        1-1、当第k个人上飞机的时候,他不可能做到编号为2到k-1的座位上。
        证明:假设他能坐到第i个坐位上(2 <=i <=k-1),则表示,第i个人上飞机的时候,第i个座位是空着的,那么他就该坐到第i个座位上,则第k个人不可能坐到i号上。

        推论1:第N个人上飞机的时候,他只能坐在1号或者N

        1-2、用k1,k2等表示第n个人,若Pi占了Pj的座位,则做有向边ki-> kj.形成有向图G,满足:
        G中任意顶点的度:入度和出度同为1或度为0
        G中最多存在一个连通分部(G '),包含2个或2个以上的顶点,且k1属于G '
      由以上两点,可知若G '存在,则构成一单向连通的循环链,若不存在,则补充   定义G '只包含P1.

        2、定义p中的一个错排序列s,满足:
      (1)第一个元素在序列头,1在序列中结尾
      (2)除1外,序列中其他元素单调递增加
      (3)p中不存在比s更长的满足定义的序列

        举例:p=1234,s=1;
                    p=2134,s=21
                    p=3214,s=31
                    p=2314,s=231
                    p=2341,s=2341

        易见,s的实际意义就是一个排列中,没有坐在自己座位上的的人的一个“循环占坐链”,在排列2314中,s=231,表示第1个人占了2号座位,第2个人占了第3个座位,而第3个人占了1号座位。也就是2中定义的单向循环链G '

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