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数学札记1——导数1(导数的基本概念)

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-09-28  浏览:0次
数学笔记1——导数1(导数的基本概念)

什么是导数

  导数是高数中的重要概念,被应用于多种学科。

  从物理意义上讲,导数就是求解变化率的问题;从几何意义上讲,导数就是求函数在某一点上的切线的斜率。

  我们熟知的速度公式:v = s/t,这求解的是平均速度,实际上往往需要知道瞬时速度:

  当t趋近于t0,即t-t0趋近于0时,得到的就是顺时速度。设Δt=t-t0,s是t的函数s=f(t),瞬时速度用数学表示就是:

  为什么s=f(t)呢?请看下图:

  将横轴作为距离,以时间为单位分隔,在t0时间经过的距离是f(t0)=S0,在t时间经过的距离是f(t)=s

  在几何上,如下图所示:

  直线a与曲线相切于点Q,直线b与曲线相割于点Q和点P。b的斜率,k=(y-y0)/(x-x0),当b以Q为轴心沿着曲线旋转时,铉长|PQ|趋近于0,即x->x0时,极限存在:

  有上述两个问题可以看出,变化率和切线的问题都可以归结为下面的公式:

  定义Δx = x-x0, Δy = y - y0 = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0),上面的公式可以写成:

  由此得出导数的概念,设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx->0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f’(x0)

  也记作:

  简写为:

1/x求导

  根据导数公式,代入f(x) = 1/x

  这就OK了,所以说导数很简单,因为它仅有一个公式,但没完,因为上式没有任何意义,仅仅是看起来更复杂了。如果我们直接观察导数公式,对于所有求导,当Δx->0时,分母为0,所以必须将导数进一步简化。

  需要注意的是,求f’(x)的完整说法是求f(x)在定义域某一点的导数,所以x是已知的,求某一点的导数,当然要知道这个点是什么。

求切线所在三角形的面积

  如下图所示,直线MN是曲线1/x的切线,切点是(x0,y0),求S△MON

  S△MON = 1/2(MO * ON),已知条件是切点(x0,y0),需要求解的未知条件是MO和NO。

  直线MN的公式是y=kx+b,根据上节的介绍,1/x在(x0,y0)的导数是MN的斜率 -1/x02,代入得:

  y0=-1/x02 + b   =>

   1/x0 = (-1/x02) x0+ b  =>

    b = 2/x0

  设N点的坐标是(x,0),代入y=kx+b得:

       0=(-1/x02)x+2/x=> x = 2x0

  即OM = 2x0

  同理,MO=2y0

  S△MON = 1/2(MO * ON) = 1/2(2x02y0) = 1/2(2x0)(2/x0) = 2

幂函数求导

  f(x) = Xn的导数f’(x) = nxn-1

  例:(3x6)’ = 3 * 6x6-1 =  18x5

  该公式可以扩展到多项式中:

  (3x3 + 6x10)' = 3 * 3x3-1 + 6 * 10 x10-1 = 9x2 + 60x9

sin和cos求导

  下面是sinx和cosx的去曲线图:

sinx

cosx

  sin0°= 0,sin90°= sin(π/2) = 1

  求导时需要用到几个公式:

  1、2不解释,3、4后面会给出证明:

(sinx)’

(cosx)’

为什么会有公式3、4

  ,需要从几何意义上证明。

  上图是一个单位圆,将Δx用θ替换。由于单位圆r=1,弧长MN=(2πr ) (θ/360) = (2πr)(θ/2π) =θ。

  公式3:

  当θ趋近于0时,PN比弧长MN更快地趋近于0,所以公式3成立。

  公式4:sinθ=MP/OM=MP. 当θ趋近于0时,MP越来越趋近与MN(趋近但不等于0),所以

总结

  1. 导数的物理意义:描述变化率,几何意义:切线的斜率
  2. 导数公式:
  3. 基本函数求导公式

1)       (C)’ = 0

2)       (1/x)’ = -1/x2

3)       (xn)’ = nxn-1

4)       (sinx)’ = cosx

5)       (cosx)’=-sinx


 作者:我是8位的

 出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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