MyException - 我的异常网
当前位置:我的异常网» 综合 » 数学札记4——导数4(反函数的导数)

数学札记4——导数4(反函数的导数)

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-09-28  浏览:0次
数学笔记4——导数4(反函数的导数)

什么是反函数

  一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x) 。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

  例1:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
  y=2x的反函数是y=log2x

  例2:求函数3x-2的反函数

  y=3x-2的定义域为R,值域为R.
  由y=3x-2解得 
  x=1/3(y+2) 
  将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)

反函数的性质

  这个厉害了,反函数一般具有以下几种性质:
  1、互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;  
  2、函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的;  
  3、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;  
  4、偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。    
  5、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; 
  6、严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

  7、反函数是相互的 
  8、定义域、值域相反对应法则互逆 
  9、不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方(不满足第2条如y=x2在x<=0时是递减的,在x>=0时是递增的)
  10、反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么他的反函数Y=F’(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I}内也可导,且[F‘(X)]'=1\[F’(Y)]'。

反函数求导

  用隐函数微分法可以求导任意反函数,只要我们知道原函数的导数。

示例1:(tan-1x)’

  y = tan-1x = arctanx,定义域是(-π/2, π/2),值域是(-∞,+∞),原函数是tany = x

  先来看图形,中间的红色曲线是定义域是(-π/2, π/2)时tanx的曲线,蓝色曲线是其对应的反函数y = arctanx

  以下是y = tan-1x求导过程:

  上式等价于tany=x,求导等价于对tany=x求导。对隐函数tany=x两侧同时求导:

  在上图直角三角形中,tany=a/b,siny=a/c,cosy=b/c,由此,tany=siny/cosy。代入(1):

  在上图直角三角形中,,代入(2):

  y是x的函数,我们需要将y替换成x,如果直接替换,将得到cos2(tan-1x),可以对其化简,但这很繁琐,所以还是回到直角三角形中考虑使用更简单化简的方法。

  由于tany=x,所以将直角三角形中的两个直角边分别设为x和1,这样就可以求得斜边,由此可以计算cosy:

示例2:(sin-1x)’ 

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

  本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

 

文章评论

程序员应该关注的一些事儿
程序员应该关注的一些事儿
我是如何打败拖延症的
我是如何打败拖延症的
那些性感的让人尖叫的程序员
那些性感的让人尖叫的程序员
十大编程算法助程序员走上高手之路
十大编程算法助程序员走上高手之路
程序员眼里IE浏览器是什么样的
程序员眼里IE浏览器是什么样的
什么才是优秀的用户界面设计
什么才是优秀的用户界面设计
2013年美国开发者薪资调查报告
2013年美国开发者薪资调查报告
老程序员的下场
老程序员的下场
10个帮程序员减压放松的网站
10个帮程序员减压放松的网站
程序员周末都喜欢做什么?
程序员周末都喜欢做什么?
团队中“技术大拿”并非越多越好
团队中“技术大拿”并非越多越好
不懂技术不要对懂技术的人说这很容易实现
不懂技术不要对懂技术的人说这很容易实现
初级 vs 高级开发者 哪个性价比更高?
初级 vs 高级开发者 哪个性价比更高?
Web开发人员为什么越来越懒了?
Web开发人员为什么越来越懒了?
“懒”出效率是程序员的美德
“懒”出效率是程序员的美德
程序员的鄙视链
程序员的鄙视链
聊聊HTTPS和SSL/TLS协议
聊聊HTTPS和SSL/TLS协议
每天工作4小时的程序员
每天工作4小时的程序员
中美印日四国程序员比较
中美印日四国程序员比较
如何区分一个程序员是“老手“还是“新手“?
如何区分一个程序员是“老手“还是“新手“?
看13位CEO、创始人和高管如何提高工作效率
看13位CEO、创始人和高管如何提高工作效率
如何成为一名黑客
如何成为一名黑客
旅行,写作,编程
旅行,写作,编程
鲜为人知的编程真相
鲜为人知的编程真相
总结2014中国互联网十大段子
总结2014中国互联网十大段子
编程语言是女人
编程语言是女人
Web开发者需具备的8个好习惯
Web开发者需具备的8个好习惯
我的丈夫是个程序员
我的丈夫是个程序员
老美怎么看待阿里赴美上市
老美怎么看待阿里赴美上市
为什么程序员都是夜猫子
为什么程序员都是夜猫子
2013年中国软件开发者薪资调查报告
2013年中国软件开发者薪资调查报告
代码女神横空出世
代码女神横空出世
程序员都该阅读的书
程序员都该阅读的书
程序员和编码员之间的区别
程序员和编码员之间的区别
写给自己也写给你 自己到底该何去何从
写给自己也写给你 自己到底该何去何从
Java程序员必看电影
Java程序员必看电影
“肮脏的”IT工作排行榜
“肮脏的”IT工作排行榜
为啥Android手机总会越用越慢?
为啥Android手机总会越用越慢?
Java 与 .NET 的平台发展之争
Java 与 .NET 的平台发展之争
程序员必看的十大电影
程序员必看的十大电影
程序员最害怕的5件事 你中招了吗?
程序员最害怕的5件事 你中招了吗?
 程序员的样子
程序员的样子
做程序猿的老婆应该注意的一些事情
做程序猿的老婆应该注意的一些事情
程序员的一天:一寸光阴一寸金
程序员的一天:一寸光阴一寸金
我跳槽是因为他们的显示器更大
我跳槽是因为他们的显示器更大
程序猿的崛起——Growth Hacker
程序猿的崛起——Growth Hacker
Google伦敦新总部 犹如星级庄园
Google伦敦新总部 犹如星级庄园
科技史上最臭名昭著的13大罪犯
科技史上最臭名昭著的13大罪犯
10个调试和排错的小建议
10个调试和排错的小建议
软件开发程序错误异常ExceptionCopyright © 2009-2015 MyException 版权所有