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数学札记5——导数5(指数函数和对数函数的导数)

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-10-16  浏览:0次
数学笔记5——导数5(指数函数和对数函数的导数)

 指数函数的性质

  先来复习一下中学的课程:

指数函数的导数

  对f(x) = ax求导:

  ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):

  函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。

  如果y=2x,则,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。

e

  我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:

  1) (ex)’ = ex

  2) ex在x=0的导数是1

  当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:

  当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。

对数的性质

自然对数的导数

  自然对数是以e为底的对数,简写做ln

  

  y=lne和y=ex互为反函数:

lnx求导

  对于函数y = lnx,其反函数是ey = x,根据反函数微分法:

M(a)的真相

  已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。

  在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换:

  根据链式求导法则,

  所以,M(a) = ln(a)

指数函数的求导公式

  由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。

  对数函数求导公式:(ax)’ = axlna

   示例:

  (10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2x ln2

对数微分法

  自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数

  根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x

 

  示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x

  示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna

  示例3:(xx)’

    这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换。

  示例4:(xn)’

  根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1现在使用对数转换对其求解:

  

  也可以使用对数微分法求解:

 

  示例5:(lnsecx)’

  (lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx

 

e的真相

  先来看一个极限:

  这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能为可能。暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x

总结

  1. (ex)’ = e,ex在x=0处的导数是1
  2. 指数函数的导数 (ax)’=axlna
  3. (lnx)’ = 1/x
  4. 对数微分法,(lnu)’ = u’/u
  5.  


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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