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线性代数札记2——矩阵与线性方程

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-10-27  浏览:0次
线性代数笔记2——矩阵与线性方程

线性方程的几何意义

二元线性方程

  该方程是一个二元线性方程组,包含两个方程,每个方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,这就是二元线性方程的几何意义。

三元线性方程

  二元线性方程表示一条直线,三元线性方程中三维坐标系中表示一个平面。

  方程x + 4y + z = 8,在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图:

  需要注意的是,平面是无限延伸的。

  另一个方程x + y + 3z = 3,与第一个方程的平面相交与一条直线:

  三元线性方程组  在坐标系中将交于一点,这个点就是方程组的解。

求解线性方程

  当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组,这里主要讨论如何用矩阵求解。

消元法

  

  首先将方程组以矩阵的方式表示:

  该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以省略未知数:

 

  现在可以对其进行消元,首先消去x,方法与普通代数法类似:

  用同样的方法对y消元:

  矩阵第三行对应-31z = 62,z = -2

  最终可解得

  可以看出,消元法本质上与初中的代数法没有区别,只是换了一种较为简单的表现形式,对于多元线性方程组,其消元过程十分繁琐。

矩阵法

  

  这里需要使用列向量的概念,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。

  将上面的方程组用矩阵和向量表示:

  实际上可看作 x = b/A,有点意思了,可以通过一个除法运算直接求得方程的解。

  解得

  对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。

  我们用python求解消元法中的方程组

1 import numpy as np
2 
3 a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
5 result = a**-1 * c
6 print(result)

  

无解的方程组

  线性方程组在用矩阵向量法转换后,如果矩阵A是奇异矩阵,A-1没有定义,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。

  如  ,该方程组无解,  是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像:

总结

  1. 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是二者的交点
  2. 三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面,其解是三者的交点
  3. 可以使用消元发和矩阵向量法求解线性方程
  4. 如果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵,则该方程组无解

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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