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数学札记12——常微分方程和分离变量

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-11-22  浏览:0次
数学笔记12——常微分方程和分离变量

 常微分方程

  含有未知函数的导数,如

  的方程是微分方程。 一般的,凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。本文主要介绍常微分方程。

  概念往往令人迷惑,还是看看实际的例子:

  目标是求解x和y的关系。将等式转换:

  这就是最终答案。

  实际上,常微分的求解过程就是利用不定积分的知识:

分离变量

  分离变量是求解常微分方程的一种方法,适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式。先看下面的示例:

  在物理学中它有一个专有名称,叫做“淹没算符”。此处没必要去纠结物理学概念,仅需要在数学上求解这个方程。但这个表达式和以往所见的微分表达式不一样,首先将方程展开,将其转换为我们熟悉的形式:

  想要求解方程,需要继续转换:

  这就是求得的答案。

  但上述答案只求解了y>0的情况,y≤0时尚未考虑。可以通过求导来验证答案是否是通解:

  令a为任意常数,将解转换为y=ae-x^2/2,当a≠0时,实际上a=±A

  答案是通解,最终答案是y=ae-x^2/2,a是任意常数。

  实际上该答案就是正态分布函数,也就是著名的高斯函数,其原型:

  其中a,b,c∈R

  高斯函数的图形在形状上像一个倒悬着的钟。a表示得到曲线的高度,b是指曲线中心线在x轴的偏移,c半峰宽度(函数峰值一半处相距的宽度)。

  当b=0,c=0,a=5时,图像如下:

y=ae-x^2/2

示例

示例1

  曲线切线与经过原点的直线相交,曲线在交点的切线是直线斜率的两倍,求曲线表达式。

  首先将上述文字转换为方程,设交点是(x,y),曲线是y=f(x),则曲线切线的斜率为y’,直线斜率为y/x,于是得到下面关系式:

  通过验证寻找通解,设a=±A,则a为非零的任意常数,y=ax2,验证该解:

  答案符合最初等式。最终结果是y=ax2,a∈R,x≠0

  当a=1时,曲线y= x2,y’=2x;则在(2,4)点的切线斜率是4,切线是y=4x+b;将(2,4)代入切线,4=4×2+b,b=-4,在(2,4)点的切线为y=4x-4。下图是满足条件的曲线:

  y=ax2实际上是一族曲线:

y=ax2

示例2

  微分方程xdy/dx = (x2+x)(y2+1),求y=f(x)

  此处需要复习一下三角函数的求导公式:

  由上面的公式15,

  验证,已知三角函数公式tan2x+1=sec2x

示例3

  d2y/dx2=6x,求y=f(x),y=f(x)在(1,1)点有水平切线。

  题目中涉及到二阶导数和一个限制条件。

  通过限制条件得知:

  将(1,1)代入上式,1 = 1 – 3 + C2,C2 = 3

  最终,y = x3 – 3x + 3

 总结

  1. 使用不定积分求解常微分方程
  2. 分离变量是求解常微分方程的一种方法,适用于dy/dx = f(x)g(y)的形式

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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