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线性代数(1)-向量空间及其性质

www.MyException.Cn  网友分享于:2013-06-21  浏览:14次
线性代数(一)--向量空间及其性质

引子:学习机器学习到一定程度,必然就会碰到数学瓶颈的问题,在这些数学瓶颈中,线性代数是其中一个重要障碍。如果能够较为深入地理解线性代数,会大大提高机器学习的理解和应用能力。因此,决定写一个线性代数的系列,来记录自己重读线性代数的过程,与同道中人共勉。

既然我们谈到线性代数,那么什么是线性代数呢?

一句话:线性代数是关于有限维向量空间线性映射的学科。

上面的定义有两个加黑的地方:有限维向量空间和线性映射。

(一) 我们先来谈谈什么是有限维向量空间

这个名词很显然可以拆解为两个部分:有限维+向量空间,有限维是限定词,核心词是向量空间,

所以我们先来看看什么是向量空间, 根据直觉,类似于欧几里得空间(如平面和三维空间),向量空间是一个元素(如点)的集合吗?

答案是不全对,严格地说,向量空间是满足一定结构的集合,即满足一定条件的集合。那么是什么条件呢?

主要有如下:(1)集合中元素的加法满足交换律;

(2)加法元在集合中,所谓加法元就是集合中任何的元素加上加法元,不改变这个元素;

(3)集合中元素的加法逆在这个集合中,所谓加法逆就是某个元素加上这个加法逆的结果为加法元;

(4)满足加法的结合律;

(5)乘法元在集合中,所谓乘法元就是集合中任何的元素数乘乘法元,不改变这个元素;

(6)满足数乘对于加法操作的分配率;

在满足这6个条件之后,我们就称这个集合是向量空间;

在看了这6个条件之后,是不是觉得特别熟悉啊,是的,小学我们就学过三大定律(交换律,分配率,结合律),这是我们小学学的内容是这里的向量空间的一个特例。

(shinningmonster, SEWM)

在弄清楚了向量空间的概念之后,我们来看看对于一个向量,什么叫有限维的?

直觉地,是不是讲每个元素的维度是有限的呢?就像三维空间里面一样。

答案是也对也不对,在讲有限维的时候,我们必须先弄清楚一个概念“张成”

假设一个向量空间中存在n个元素(v1, v2, ..., vn),使得向量空间的任何元素u 都可以表示为 u = a_1* v1 + a_2*v2+...+ a_n*vn,

那么我就说这n个元素“张成”这个向量空间。

如果n是有限的,那么就称这个向量空间是有限维向量空间

(二)那么什么是线性映射呢?

映射就是函数的别名,线性映射就是满足以下两个条件的函数T:(1)T(v+u) = T(v) + T(u); (2)T(av) = aT(v);

总结起来:线性代数就是研究在有限维向量空间中的线性映射(函数)的学科。所以一方面我们得考察有限维向量空间的性质;另一方面就是考察各种这类空间上的线性函数。

附:为了以后描述方便,补充向量空间的“和”与“直和”两个概念

向量空间和:让空间中的每一个元素和其它空间的任意元素都相加得到的空间;

向量空间的直和:如果一堆子空间能唯一地把一个空间表示为它们的和,称这个空间是这堆子空间的直和。

shinningmonster, SEWM

 

1楼lidaasky1小时前
忘得差不多了,学习了

文章评论

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